Учился в Калужском педагогическом институте на историческом факультете и занимался в драматическом кружке. Руководитель кружка Зиновий Когородский пригласил Барашкова в Калининградский областной драматический театр, куда был назначен главным режиссером. В 1956 Барашков поступил в ГИТИС (класс А. Гончарова).
По окончании института приглашен в Театр имени А.С. Пушкина. Главным режиссером театра был Борис Равенских. В спектакле-концерте, поставленном Равенских, Барашков исполнил песни А у нас во дворе и Хотят ли русские войны. Уйдя из театра, в середине 1960-х гг. стал солистом ансамбля Игоря Гранова «ГОЛУБЫЕ ГИТАРЫ». Вскоре начал сольную карьеру. Визитной карточкой артиста стала песня А.Пахмутовой на стихи Н.Добронравова и С. Гребенникова Главное, ребята, сердцем не стареть, первым исполнителем которой был Барашков. В его репертуаре присутствовали песни из к/ф «Белое солнце пустыни». В 1970-е годы исполнял песни В. Высоцкого, Ю. Визбора и других бардов. В 1985 сделал концертную программу «Наполним музыкой сердца» по произведениям Ю. Визбора.
В конце 1990-х гг. создал программы из песен прошлых лет. Дискография: ЛЕВ БАРАШКОВ (Мелодия, 1968, грампластинка) ПОЮТ МАРИЯ ЛУКАЧ И ЛЕВ БАРАШКОВ (Мелодия, 1971, грампластинка) ПОЕТ ЛЕВ БАРАШКОВ (Мелодия, 1972) ЛЕВ БАРАШКОВ (Мелодия, 1973, грампластинка) ГЛАВНОЕ РЕБЯТА, СЕРДЦЕМ НЕ СТАРЕТЬ (Мелодия, 1975, грампластинка) ЛЕВ БАРАШКОВ (Мелодия, 1976) Я ВСЕ ПАМЯТЬ ЛИСТАЮ… (Мелодия, 1990) СПОКОЙНО, ДРУЖИЩЕ, СПОКОЙНО Песни Ю.Визбора (1996) ЗВЕЗДЫ, КОТОРЫЕ НЕ ГАСНУТ. ЛЕВ БАРАШКОВ. ЛУЧШИЕ ПЕСНИ РАЗНЫХ ЛЕТ (Парк Рекордз, 2002)